게임수학

3차원 공간3차원 공간을 설계하는 방법은 왼손 좌표계와 오른손 좌표계 크게 두가지로 구분된다.왼손 좌표계는 내가 바라보는 정면이 +z축 이..

공간 이동3차원 공간의 이동 구현을 위해선 물체를 표현하는 3차원 + 이동을 표현하는 1차원이 필요총 4차원이 필요하다.4차원 공간을 그림으로 표현할 수 없음단, 2차원 공간의 이동은 그림으로 표현할 수 있음2차원 공간의 이동은 3차원 공간에서 가능하다.2차원 물체를 표현하기 위해서 사용하는 공간은 노란색 영역노란색 영역의 마지막 차원의 값인 z는 항상 1이다.이 노란색 영역의 이름을 어파인(Affine) 공간이라고 한다.어파인 조합(Affine Combination)점 + 점 = 2이므로 어파인 공간의 영역을 벗어나게 된다.따라서 점 + 점은 불가능하지만 아래와 같이 점 앞에 계수를 붙이면두 점을 더한 결과가 a + b가 된다.만약, a + b..

내적(Dot product)벡터의 내적(Dot product)은 같은 차원의 두 벡터가 주어졌을 때 벡터를 구성하는 각 성분을 곱한 후 이들을 더해 스칼라를 만들어내는 연산이다.u = (a,b)v = (c,d)u·v = a·c + b·d내적의 성질내적은 스칼라의 곱셈과 덧셈으로 구성되어 있으므로 교환법칙이 성립한다. 하지만 결과가 벡터가 아닌 스칼라로 나오는 성질로 인해 결합법칙은 성립하지 않는다.u·v = a·c + b·dv·u = c·a + d·b ∴ u·v = v·u u·(v·w) ≠ (u·v)·w내적은 덧셈에 대한 분배법칙이 성립된다. w·(u+v) = (e,f)·(a+c, b+d) = ae + ce + bf + df u·w + v·w = (a,b)·..

어파인 공간?벡터공간에서는 벡터가 어디에 위치해 있던지 크기와 방향만 같다면 모두 같은 벡터로 취급한다. 따라서, 벡터 공간에서는 위의 여러 벡터가 엄연히 다른 벡터임에도 불구하고 같은 벡터로 취급될 것이다. 결국 벡터 공간에서는 위치를 중시하는 기하학을 표현하기에 무리가 있다.이를 극복하고자 고안된 것이 바로 어파인 공간이다.어파인 공간에서는 벡터에 위치표현을 위한 점을 추가하여 해당 벡터의 크기, 방향 뿐만 아니라 위치까지도 표현할 수 있게 된다.벡터공간 + 위치이동이 가능한 부분 공간을 어파인 공간(Affine space)이라고 부른다.어파인 공간에서의 이동 변환임의의 벡터 (x,y)를 지정한 크기(a,b)만큼 이동시키는 기능은 행렬의 덧셈으로 구할 수 있다. ..

선형성?벡터와 스칼라 곱으로 생성된 벡터는 벡터와 평행한 원점을 지나는 일직선 상에 위치한다.이러한 성질을 선형성(Linearity)라고 한다.수학에서는 선형성을 가법성(Additivity)과 1차 동차성(Homogeneity of degree1) 두 가지 조건을 모두 만족하는 함수의 성질로 정의한다.f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) // 가법성f(k · x) = k · f(x) //1차 동차성선형함수원점을 지나는 직선 함수가 있다고 생각해보자f(x) = axy = ax // 출력의 원소를 y로 표시 (직선 방정식)// 선형성의 첫 번째 성질인 가법성 검증// 좌변과 우변의 값이 동일한지 확인하는 것으로 판별 가능f(x1 + x2) = a(x1 + x2)..

삼각함수?한 각이 직각(90도)인 직각삼각형을 이루는 세 변은 각 위치에 따라 빗변, 밑변, 높이 라고 부른다.다른 두 각은 모두 90도보다 작은 예각이다.직각삼각형을 구성하는 세 변에서 두 변을 뽑아 각각의 비례관계를 나타낸 것은 삼각비(Trigonometric Ratio)라고 한다.사인(Sine), 코사인(Cosine), 탄젠트(Tangent) 세가지가 대표적밑변의 길이를 a, 높이의 길이를 b, 빗변의 길이를 c, 빗변과 밑변과의 사이각을 θ라고 할 때, 각 삼각비의 관계sinθ = b/ccosθ = a/ctanθ = b/a직각삼각형에서 측정할 수 있는 사잇각은 0도보다 크거나 90도보다 작아야한다.위 그림과 같이 직각삼각형을 데카르트 좌표계 상에 배치하고 ..

벡터?벡터(Vector)란 평면에서 시각적으로 의미 있는 물체를 생성하기 위해 평면을 구성하는 원소이다.벡터는 크기와 방향을 가진 양을 나타내는 수학적 개념데카르트 좌표계데카르트 좌표계(Certesian coordination syste)는 직선의 수 집합을 수직으로 배치하여 평면을 표기하는 방식을 의미한다.곱집합의 원어가 데카르트 곱(Certesian pruduct)임을 생각한다면 같은 의미임을 알 수 있다.데카르트 좌표계는 위 그림과 같이 수평으로 배치한 첫 번째 실수 집합의 미지수를 x, 수직으로 배치한 두 번째 실수 집합의 미지수를 y로 표기함원점을 기준으로 x축의 오른편, y축의 위편은 양의 영역을 나타낸다.가로축 X와 세로축 Y를 통해 평면을 가르면 총 4개..

수와 집합게임을 구성하는 가상 세계를 이해하기 위한 첫걸음은 집합(set)이라는 개념으로 수를 이해하는것이다.집합은 서로 구분이 되는 원소(Element)로 구성된 묶음을 의미한다.수의 집합은 아래와 같이 구성된다.N (자연수) : 물건을 세거나 순서를 지정하기 위해 사용하는 수의 집합Z (정수) : 자연수와 자연수의 음수, 0을 포합하는 수의 집합Q (유리수) : 분모가 0이 아닌 두 정수의 비율 혹은 분수로 나타낼 수 있는 수의 집합I (무리수) : 두 정수 비 혹은 분수로 나타낼 수 없는 수의 집합C (복소수) : 실수와 제곱하면 -1이 되는 허수 단위 i를 조합해 a+bi(a, b는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합H (사원수) : 실수와 제곱하면 -1이 되는 세 허수 단위 i..