[게임수학] 수

수와 집합

• 게임을 구성하는 가상 세계를 이해하기 위한 첫걸음은 집합(set)이라는 개념으로 수를 이해하는것이다.
• 집합은 서로 구분이 되는 원소(Element)로 구성된 묶음을 의미한다.
• 수의 집합은 아래와 같이 구성된다.
  • N (자연수) : 물건을 세거나 순서를 지정하기 위해 사용하는 수의 집합
  • Z (정수) : 자연수와 자연수의 음수, 0을 포합하는 수의 집합
  • Q (유리수) : 분모가 0이 아닌 두 정수의 비율 혹은 분수로 나타낼 수 있는 수의 집합
  • I (무리수) : 두 정수 비 혹은 분수로 나타낼 수 없는 수의 집합
  • C (복소수) : 실수와 제곱하면 -1이 되는 허수 단위 i를 조합해 a+bi(a, b는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합
  • H (사원수) : 실수와 제곱하면 -1이 되는 세 허수 단위 i,j,k 를 조합해 a+bi+cj+dk(a,b,c,d는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합

 

• 수집합의 관계는 위 그림과 같이 벤 다이어그램으로 도식화할 수 있다.
• 수를 이용해 가상 공간이라는 고차원 체계를 만들어야한다.
  • 이를 위해 집합의 성질을 참과 거깃으로 명확하게 구분할 수 있는 명제가 필요함
• 명제 중에서 증명할 필요가 없는 기본 명제를 공리(Axiom)라고 한다.
  • 공리를 기반으로 대상을 구분하는 집합론을 공리적 집합론(Axiomatic set theory)라고 한다.
• 공리적 집합론에서는 수가 가지는 연산에 대한 공리를 기반으로 수를 분류한다.

수의 연산

• 수 집합은 원소를 이용해 연산을 한다는 고유한 특징이 있다.
• 대표적인 연산으로는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산이 있다.
• 두 개의 원소를 사용해 새로운 원소를 만들어내기 때문에 이항연산(Binary Operation)이라고 부른다.
• 같은 집합에 속한 두 수를 투입한 이항연산의 결과가 항상 투입한 집합에 속하는 경우가 있다.
  • 이러한 이항연산을 해당 집합에 닫혀있다(Closure)고 한다.
• 이항연산에는 아래와 같은 성질이 존재한다.
  • 교환 법칙
  • 결합 법칙
  • 분배 법칙
  • 항등원(identity)
  • 역원(inverse)

교환 법칙

• 임의의 두 수 a와 b를 연산할 때 순서에 관계없이 항상 동일한 결과가 나오는 성질

a + b = b + a
a * b = b * a

결합 법칙

• 연산이 두 번 이상 연속될 때, 앞의 연산을 먼저 계산한 결과와 뒤의 연산을 먼저 계산한 결과가 같은 성질

(a + b) + c = a + (b + c)
(a * b) * c = (a * b) * c

분배 법칙

• 서로 다른 2가지 연산에 대해 좌분배법칙과 우분배법칙을 만족하면 분배법칙을 만족한다고 한다

a * (b + c) = a * b + a * c
(b + c) * a = b * a + c * a

Identity

• 임의의 수와의 연산 결과를 항상 동일한 수로 만들어주는 특별한 수

a + 0 = a   //0: 덧셈의 항등원
a * 1 = a   //1: 곱셈의 항등원

Inverse

• 임의의 수와 연산 결과를 항상 항등원으로 만들어주는 특별한 수

a + (-a) = 0    //-a: a의 덧셈 역원 (반대수 Opposite number)
a * 1 / a = 1   //1/a: a의 곱셈 역원 (역수 Reciprocal)

수의 구조

• 공리적 집합론에서 두 연산에 대해 아래와 같은 11개의 공리를 모두 만족하는 수의 집합을 체(Field)의 구조를 가진다고 표현한다.
  1. 연산에 대해 닫혀있다.
  2. 연산에 대해 결합 법칙이 성립한다.
  3. 연산에 대한 항등원이 존재한다.
  4. 연산에 대한 역원이 존재한다.
  5. 연산에 대해 교환 법칙이 성립한다.
  6. 두 번째 연산에 대해 닫혀 있다.
  7. 두 번째 연산에 대해 결합 법칙이 성립한다.
  8. 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 분배 법칙이 성립한다.
  9. 두 번째 연산에 대해 교환 법칙이 성립한다.
  10. 두 번째 연산에 대해 항등원이 존재한다.
  11. 두 번째 연산에 대해 역원이 존재한다. (0은 제외)
• 정수의 덧셈은 위 공리를 모두 만족한다.
• 정수의 뺄셈은 교환 법칙이 성립하지 않기 때문에 위 공리를 모두 만족하지 않는다.
• 정수 집합 Z에 곱셈 연산을 추가하고 살펴본다면 정수 집합은 곱셈에 닫혀 있고, 결합법칙과 분배법칙이 성립하며 교환법칙도 성립한다.
  • 하지만 정수 집합의 원소 a에 대한 곱셈의 역원은 1/a인데 이는 정수가 아니기 때문에 11번의 공리를 만족하지 못한다.
• 덧셈에 대한 역원이 존재하지 않는 자연수(N)와 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않는 정수(Z)는 11가지 공리를 만족하지 못한다.
  • 하지만 유리수(Q), 실수(R)는 곱셈의 역원이 존재하기 때문에 덧셈과 곱셈 두 연산에 대해 11가지 공리를 모두 만족한다.
• 뺄셈과 나눗셈은 교환법칙을 만족하지 않기 때문에 체의 구조를 지니지 못한다. 
• 뺄셈 대신 덧셈의 역원을 사용하고 나눗셈 대신 곱셈의 역원을 사용하면 되기 때문에 수 집합의 구조를 분석할 때는 덧셈과 곱셈의 두 가지 연산에 대해서만 살펴보는 것

수의 표현

• 체의 구조를 만족하는 수집합은 유리수(Q), 실수(R)가 있다.
• 직선 상에 유리수의 모든 원소를 순서대로 나열하는 상황을 가정한다면 무리수를 표현할 수 없기 때문에 빈틈이 생길것
  • 이러한 빈틈을 무리수로 채워 완벽한 연속성을 가지는 직선을 만들어 내는 수가 실수(R)다.

• 실수를 대응시켜 표현한 직선을 수직선(Number Line)이라하며 직각으로 만나는 직선을 의미하는 수직선(Perpendicular Line)과 같은 의미이다.

• 어떤 수의 원점으로부터의 거리는 수직 막대(Vertical Bar)기호를 써서 나타내는데 이를 절댓값(Absolute value)이라고 한다.

• 덧셈 연산은 점을 평행 이동시키는 작업으로 해석할 수 있다.
  • -4와 -1의 합은 수의 위치를 왼쪽 방향으로 4칸만큼 이동시키는 작업
  • 1과 2의 합은 오른쪽 방향으로 2칸 이동시키는 작업

• 곱셈은 원점을 기준으로 점의 위치를 지정된 배율만큼 늘리고 대칭시키는 작업으로 해석할 수 있다.
  • 어떤 수와 2의 곱은 원점으로부터 거리를 같은 방향으로 2배 키우는 작업
  • 왼쪽 항의 수가 가진 크기를 오른쪽 수가 가진 크기의  배율로 늘리거나 줄인 후 오른쪽 수의 부화가 양의 부호인 경우 원 방향을 유지하고, 음수인 경우 반대 방향으로 대칭시키는 작업

함수

• 함수(Function)란 두 집합에서 첫 번째 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두 번째 집합의 어떤 원소로 대응하는 관계를 의미한다.
• 두 집합을 X와 Y라는 기호로 지정하고, 집합 X의 원소를 x, 집합 Y의 원소를 y라 할 때
  • X에서 Y로 대응되는 함수를 y = f(x)로 나타낸다.
• 함수는 아래 규칙이 성립돼야 한다.
  • 첫 번째 집합의 모든 원소에 대한 대응 관계가 존재해야 함
  • 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에 대응되어야 함

• 함수에서 첫 번째 집합을 정의역(Domain)이라고 하고, 두 번째 집합을 공역(Codomaion)이라 한다.
• 정의역에 대응되는 공역의 원소만 따로 모아 부분 집합(Subset)을 형성할 수 잇는데, 이를 치역(Range)이라고 부른다.
• 함수에 사용하는 정의역의 요소를 입력(Input), 입력에 대응하는 공역의 요소를 출력(Output)이라 한다.

함수의 종류

• 전사함수
  • 전사함수(Surjection)는 공역의 모든 요소가 정의역에 대응되는 함수이다.
  • 즉 공역와 치역이 동일한 함수다.
• 단사함수
  • 단사함수(Injection)는 정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되는 함수이다.
  • 정의역이 두 요소가 공역의 한 요소에 대응되는건 단사 함수가 아니다.
• 전단사함수
  • 전단사함수(Bijection)는 정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 일대일로 대응되는 함수를 의미한다.

합성함수

• 2개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산을 함수의 합성(Function Composition)이라 한다.
• X,Y,Z 세 집합 사이에 두 함수 f(x)와 g(y)가 존재할 때
  • 두 함수를 연쇄적으로 이어 합성함수를 만들면 중간에 위치한 집합 Y를 생략하고 집합 X와 Z의 직접적인 대응 관계를 표현할 수 있다.
  • 이러한 합성함수는 g·f 혹은 g(f(x))로 표시
  • 먼저 실행되는 함수 f가 (·)기호의 오른쪽에 놓인다는 점을 유의
• 합성함수 g·f는 g 써클 f로 부르는데, 대응 순서에 맞춰서 g 애프터 f 라고도 부른다.

항등함수와 역함수

• 정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수를 항등함수(Identity Function)라고 하며 기호 id로 나타낸다.
• 항등함수는 연산의 항등원과 동일한 역할을 수행한다.
  • 만약 합성함수를 사용해 함수에 연산의 개념을 도입하면 세 집합의 대응관계는 다음과 같이 표현된다.

• 왼쪽 그림을 수식으로 나타내면 id · f = f이고 오른쪽을 수식으로 나타내면 f · id = f가 된다.
  • 항등함수는 어느 위치에 있든지 합성의 결과는 원 함수와 동일한 대응 관계를 나타낸다.
• 역원 개념과 동일하게 합성함수의 대응 결과가 항등함수가 되는 경우

• 오른쪽 그림과 같은 대응 관계가 있다면, 이를 합성해 간추린 결과 오른쪽 그림과 같이 동일한 원소끼리 대응될 것
  • 왼쪽 그림의 g(y)와 같은 함수를 역함수라고 한다.
  • 역함수는 f^-1로 표기
  • 어떤 함수와 역함수를 합성한 결과는 오른쪽 그림과 같이 언제나 항등함수가 된다.
• 항등함수는 다음의 수식을 만족한다.

f^-1 · f = id
f · f^-1 = id
(g · f)^-1 = f^-1 · g^-1

곱집합

• 곱집합(Cartesian product)이란 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합을 의미
• 집합 A와 B의 곱집합은 A X B 라고 표현
• 곱집합의 요소는 각 집합의 원소 a와 b를 순서쌍으로 묶어 (a, b)와 같이 표현
• 두 실수집합의 곱집합 R X R을 구성하고 함수의 정의역으로 설정해 입력요소를 2개로 지정하였다면, 수의 이항연산을 함수로 표현할 수 있음

• 두 집합을 서로 수직으로 배치하는 곱집합의 성질을 응용하면
  • 하나의 직선으로 표현한 실수집합 R을 확장해 두 실수의 집합의 곱집합 R X R을 좌표 평면으로 나타낼 수 있다.
• 다시 실수 집합을 곱집합으로 설정하면 3차원 공간이 된다.

 

 

 

 

 

출처

https://m.yes24.com/Goods/Detail/107025224

이득우의 게임 수학 - 예스24

https://wecandev.tistory.com/203

[이득우 게임수학] 2. 수 : 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위

https://velog.io/@thswl1230/%EA%B2%8C%EC%9E%84%EC%88%98%ED%95%99-%EC%88%98

[게임수학] - 수

https://walll4542developer.github.io/math/Numbers-and-Set/

게임 수학 입문 01 - 수와 집합(Numbers and Set)

https://walll4542developer.github.io/math/Function/

게임 수학 입문 02 - 함수(Function)