[게임수학] 복소수

복소수

• 일상적으로 사용하는 대부분 수는 하나의 값으로 표현된다.
• 특이하게 두 개의 값으로 구성되는 수집합이 있다.
  • 이를 복소수(Complex number)라고 한다.
  • 집합 기호는 C로 표현한다.

• 복소수는 위 그림과 같이 실수(Real number)와 허수(Imaginary number)의 독립된 2개의 요소로 구성된 수집합이다.

허수

• 복소수 체계에서 허수는 실수와 구분된 단위를 가진 특별한 수다.
• 모든 실수는 제곱하면 0보다 크거나 같은 수가 나온다.
• 이러한 실수의 정의만으로 풀리지 않는 문제가 등장하면서 이를 해결하고자 제곱해서 음수가 되는 상상의 수를 고안하였다.
  • 이것이 바로 허수다.
• 복소수 체계에서 실수와 허수는 물과 기름과 같이 완전히 분리된 성질을 가진다.
  • 이 둘을 구분하기 위해 허수에 i라는 기호를 사용한다.
  • 이를 허수 단위(Imaginary unit)라 부른다.
  • 허수 단위 i는 제곱했을 때 -1이 나오는 수를 말한다.

i^2 = -1

• 복소수 내에서 서로 완전히 분리된 실수 집합과 허수 집합은 각각 실수부(Real part)와 허수 부(Imaginary part)로 부른다.
  • 허수부는 항상 i를 사용해 표기
  • 즉, 크기가 b인 허수부는 bi로 표기해 실수와 구분한다.
• 실수부의 값이 a이고 허수부의 값이 b인 복소수의 표현 방법

덧셈 기호 사용
a + bi

순서쌍으로 표기
(a, b)

복소수의 구조

• 복소수의 덧셈은 실수부와 허수부를 구분해 각각 더해주는 방식을 사용한다.
  • 두 복소수의 덧셈은 다음과 같이 전개된다.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

순서쌍으로 표기
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

• 복소수의 덧셈 연산이 만족하는 성질은 벡터 덧셈 연산의 성질을 참고해 쉽게 파악할 수 있다.
  • 결합법칙 : (a, b) + ((c, d) + (e, f)) = ((a, b) + (c, d)) + (e, f)
  • 교환법칙 : (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)
  • 항등원 : (a, b) + (0, 0) = (a, b)
  • 역원 : (a, b) + (-a, -b) = (0, 0)
• 복소수의 곱셈은 모든 요소를 교차해 곱하는 방식으로 동작한다.

(a + bi)·(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i

순서쌍으로 표현
(a, b)·(c, d) = (ac - bd, ad + bc)

• 복소수의 곱셈 연산의 성질
  • 결합법칙 : (a, b) · ((c, d) · (e, f)) = ((a, b) · (c, d)) · (e, f)
  • 교환법칙 : (a, b) · (c, d) = (c, d) · (a, b)
  • 분배법칙 : (a, b) · ((c, d) + (e, f)) = (a, b)·(c, d) + (a, b)·(e, f)
  • 항등원 : (a, b) · (1, 0) = (a, b)
• 복소수의 크기와 기호 표기 방식
  • 복소수의 크기는 2차원 벡터와 동일하게 실수부와 허수부의 각 요소를 제곱해 더한 다음, 제곱근을 취하는 방식으로 계산
  • 복소수의 크기는 실수와 동일하게 절대값 기호를 써서 나타내며 복소수의 노름(Norm)이라고도 부른다.

|(a, b)| = |(a, -b)| = sqrt(a^2 + b^2)

• 크기가 1인 복소수를 단위 복소수(Unit complex number)라고 부른다.
• 복소수의 곱셈 역원은 두 복소수의 관계를 나타내는 컬레(Conjugate) 복소수를 통해 나타낼 수 있다.
  • 임의의 복소수를 c라고 하면 c의 컬레 복소수는 * 첨자 기호를 사용한 c^*로 표시한다.
  • 임의의 복소수 a + bi의 켤레 복소수 c^*는 다음과 같이 정의한다.

c = a + bi = (a, b)
c^* = a - bi = (a, -b)

• 켤레 복소수의 기호는 마치 연산처럼 사용할 수 있으며, 다음 성질이 성립된다.

(c^*)^* = c
c^*c = cc^*
(c_1c_2)^* = c_2^*c_1^*

• 복소수 곱셈의 역원

임의의 복소수 c에 대한 곱셈의 역원을 c^-1라고 할때
그 역원의 분모와 분자에 각각 컬레 복소수를 곱하면
c^-1 = 1/c = c^* / (cc^*)

켤레 복소수의 성질에 따라 분모와 허수부가 제거되면서 역원의 표현이 가능
(a + bi)^-1 = 1 / (a + bi)
            = (a - bi) / ((a + bi)(a - bi))
            = (a - bi) / (a^2 + b^2)
            
복소수 c에 대한 곱셈의 역원 c^-1은 컬레 복소수와 복소수 크기에 관힌 식으로 나타낼 수 있음
c^-1 = c^* / |c|^2

• 위 식에서 복소수 크기가 1인 단위 복소수라면 분모의 값은 1이 된다.
  • 즉, 단위 복소수의 곱셈 역원은 바로 켤레 복소수가 된다.

복소평면

• 실수는 수직선이라는 1차원 직선을 사용해 시각적으로 표현한다.
• 복소수는 실수부와 허수부라는 두 개의 독립된 체계를 가졌다.
  • 이를 시각적으로 나타내려면 직선보다는 확장된 체계를 사용해야 한다.

• 위 그림의 (a)와 같이 2차원 실벡터 공간 R^2의 벡터 (a, b)를 표현하기 위해 서로 직교하는 x축과 y축을 사용한 것 처럼, 복소수 역시 (b)와 같이 실수부에 해당하는 실수축과 허수부에 해당하는 허수축을 직각으로 교차시키는 방식으로 표현한다.
  • 이를 복소평면(Complex plane)이라고 부른다.

• 복소평면의 두 축의 이름을 순서대로 실수축(Re)와 허수축(Im)으로 실정하면 순서쌍으로 표현한 복소수 (a, b)는 위 그림과 같이 좌표처럼 평면 상에 표현할 수 있다.

• 크기가 1인 단위 복소수를 모아 복소평면에 표현하면 위 그림과 같이 단위원의 형태가 만들어진다.

단위 복소수와 곱

• 단위 복소수는 곱셈에 대해 특별한 성질을 만족한다.
• 허수부가 0인 임의의 복소수 (a, 0)에 대해 i라는 단위 복소수를 곱하면 다음과 같이 전개된다.

(a + 0i)·(0 + i) = (0 + ai) = (0, a)

• 실수 a와 허수 i와의 곱셈 연산 결과 (0, a)를 복소평면 상에 나타내면 위 그림과 같이 복소수 (a, 0)을 90° 회전시킨 결과와 같다.

• 복소수 (0, a)에 복소수 i를 한번 더 곱해보면, (-a, 0)이 나온다.
  • (-a, 0)에 또 i를 곱하면 (0, -a)가 나오고, (0, -a)에 i를 곱하면 (a, 0)이 되어 원래 값으로 돌아온다.
  • 이를 정리하면 위 그림과 같다.
• 임의의 복소수에 단위 복소수 i를 곱한 결과는 해당 복소수를 90° 회전시킨 결과와 같음을 알 수 있다.
  • 즉, 임의의 복소수 (a, b)에 복소수 i를 곱한 결과는 항상 실수부와 허수부의 값이 바뀌어 다음과 같은 식으로 표현된다.

(a, b) · (0, 1) = (-b, a)

• 위 식은 좌표 평면에서의 90° 회전과 동일한 좌표값을 만들어낸다.
  • 따라서 임의의 복소수에 복소수 i를 곱하면 항상 복소평면 상에서 90° 회전을 한다고 볼 수 있다.
• 삼각함수의 공식 cos^2Θ + sin^2Θ = 1을 이용해 단위원을 형성하는 임의의 단위 복소수 (a, b)를 다음과 같이 삼각함수로 표현할 수 있다.

(a, b) = cosΘ + isinΘ = (cosΘ, sinΘ)

• 삼각함수로 나타낸 단위 복소수에 임의의 복소수 (x, y)를 곱하면 복소수 곱셈 식은 다음과 같이 전개된다.

(cosΘ, sinΘ)·(x, y) = (xcosΘ - ysinΘ, ycosΘ + xsinΘ)

위 식은 2차원 공간의 회전행렬 R에 2차원 벡터 (x, y)를 곱한 결과와 같다.
R = ┌ cosΘ  -sinΘ ┐
    └ sinΘ   cosΘ ┘

┌ cosΘ  -sinΘ ┐ ┌ x ┐ = ┌ xcosΘ - ysinΘ ┐
└ sinΘ   cosΘ ┘ └ y ┘   └ xsinΘ + ycosΘ ┘

• 위 식을 통해 임의의 복소수에 단위 복소수를 곱하는 것은 복소평면에서의 회전 변환을 의미하는 것을 알 수 있다.
• 서로 다른 각을 갖는 2개의 단위 복소수를 곱한 결과

(cosα, sinα) · (cosβ, sinβ) = (cosαcosβ - sinαsinβ, sinαcosβ + sinβcosα)

위 식은 삼각함수의 덧셈 정리에 의해 다음과 같이 간단하게 표기된다.
(cos(α + β), sin(α + β))

• 위 식을 보면, 서로 다른 두 각을 회전 변환한 후 곱셈 연산을 하는 것은 두 각의 합을 회전 변환하는 것과 동일한 것을 알 수 있다.
• 복소수 곱셈의 항등원 (1, 0)의 의미
  • 복소수 곱셈의 항등원은 실수에서의 곱셈의 항등원과 동일하게 1이다.
  • 복소수 1역시 단위 복소수로서, 이를 삼각함수로 표현하면 0°에 대응하는 수다.
  • 따라서 곱셈의 항등원을 곱한다는 의미는 아무런 변화가 일어나지 않는 0°의 회전 변환이라 해석할 수 있다.
  • 실수에서 크기가 1인 수는 오직 1과 -1 두가지만 존재한다. 
  • 1과 -1을 복소수에서 바라보면 (1, 0), (-1, 0)에 대응되고, 이들과의 곱은 각각 0°와 180°의 회전 변환으로 해석할 수 있다.

(1, 0) = (cos0°, sin0°)

켤레 복소수의 회전 변환

• 켤레 복소수를 복소 평면에 나타내면 아래 그림과 같다.

• 임의의 복소수 (a, b)의 켤레 복소수는 (a, -b)이다.
  • 임의의 복소수와 그 켤레 복소수는 실수부 축(Re)을 중심으로 서로 대칭된 형태를 이룬다.
• 단위 복소수를 (cosΘ, sinΘ)로 표현하면 이의 켤레 복소수는 (cosΘ, -sinΘ)가 된다.
  • 이때 삼각함수의 성질을 활용하면 다음과 같이 켤레 복소수를 표현할 수 있다.

(cosΘ, -sinΘ) = (cos(-Θ), sin(-Θ))

• 단위 복소수가 위 그림과 같이 실수 축에 위치한 단위 복소수 (1, 0)을 각 Θ만큼 회전한 수를 의미하면, 켤레 복소수는 반대 방향인 -Θ만큼 회전한 수를 의미한다.

• 임의의 복소수 (a, b)에 단위 복소수를 곱하면 위 그림과 같이 보라색의 궤적을 따라 반시계 방향의 회전이 발생하는데 반해, 단위 복소수의 켤레 복소수를 곱하면 하늘색의 궤적을 따라 시계 방향의 회전이 발생한다.
  • 단위 복소수와 그 켤레 복소수를 곱한 값은 복소수의 크기의 제곱이므로 1이 된다.

c·c^* = a^2 + b^2 = sin^2Θ + cos^2Θ = 1

• 이 식을 변환의 관점에서 해석하면 각 Θ만큼 회전한 후에 바로 -Θ만큼 거꾸로 회전하는 변환을 의미한다.
  • 이 결과는 아무런 회전도 일어나지 않는 0° 회전 변환을 의미하므로 복소수 곱셈의 항등원 (1, 0)이 된다.

복소수와 행렬의 관계

• 복소수를 수의 관점이 아닌 변환의 관점에서 바라본다면 2차원 복소평면 상의 복소수는 2차원 행렬에 대응할 수 있다.
• 회전을 수행하는 단위 복소수와 2차원의 회전 변환행렬이 동일하다고 가정하고 수식을 전개하면 다음과 같다.

cosΘ + isinΘ = ┌ cosΘ  -sinΘ ┐
               └ sinΘ   cosΘ ┘

• 회전 변환행렬을 cosΘ와 sinΘ에 대해 분리해 정의하면 다음과 같다.

cosΘ + isinΘ = cosΘ·┌ 1 0 ┐ + sinΘ·┌ 0 -1 ┐ 
                    └ 0 1 ┘        └ 1  0 ┘

• 실수부에 대응하는 행렬을 I로, 허수 i에 대응하는 행렬을 J로 정의

I = ┌ 1 0 ┐
    └ 0 1 ┘
                    
J = ┌ 0 -1 ┐
    └ 1  0 ┘

• 실수부에 대응하는 행렬 I는 어떤 수에 곱했을 때 아무 변화가 없는 항등행렬이다.
  • 이는 곱셈의 항등원 I와 동등한 개념이다.
• 한편 허수 i에 대응하는 행렬 J는 90° 회전 변환행렬인데 이를 두번 곱하면 -I가 나오며, 이는 -I에 대응한다고 볼 수 있다.

J·J = ┌ -1  0 ┐ = -I 
      └ 0  -1 ┘
      
이는 두 번 곱하면 -I가 나오는 허수 단위의 성질과도 일치함
i·i = -1

 

 

 

 

 

 

출처

https://m.yes24.com/Goods/Detail/107025224

이득우의 게임 수학 - 예스24