[게임수학] 사원수(Quaternion)

사원수 대수

• 사원수는 복소수와 동일하게 허수를 사용하는 수의 집합이다.
  • 사원수는 하나의 실수부와 세 개의 허수부로 구성된다.
  • 총 4가지 수체계를 사용하기 때문에 사원수라고 한다.
• 사원수에서는 세 허수부를 구성하는 단위를 각각 i, j, k로 표시한다.

사원수를 구성하는 세 허수

• 사원수는 3개의 허수부 i, j, k로 구성되어 있지만 이들은 모두 복소수의 허수 단위 i와 같은 성질을 가진다.

i^2 = -1
i^2 = j^2 = k^2 = -1

• 세 허수 중에서 두 허수의 곱은 다음과 같이 나머지 다른 허수에 대응된다.
  • 이들은 회전의 순환 순서 x -> y -> z -> x와 유사하게 i -> j -> k -> i 순서로 대응된다.

ij = k 
jk = i
ki = j

• 위 식으로부터 ij의 값은 k가 되고 kk의 결과는 -1이므로 ijk = -1이라는 식이 성립한다.

각 세 허수의 곱셈의 결과
ijk = jki = kij = -1

• 복소수가 a + bi의 형태를 가졌던 것 처럼 사원수도 실수부와 허수부를 덧셈으로 묶고 실수를 사용해 허수부의 계수를 지정한다.
  • 실수부와 각 허수부의 계수를 a, b, c, d로 지정한 사원수는 다음과 같이 표현한다.

q = a + bi + cj + dk

• 사원수의 집합 기호는 H다.
• 사원수는 복소수와 유사하게 덧셈과 곱셈이 존재하며, 체와 유사한 구조를 지닌다.

사원수의 구조

• 사원수의 덧셈은 복소수와 유사하게 실수부와 각 허수부끼리 더하는 형태로 진행된다.

q_1 + q_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i + (c_1 + c_2)j + (d_1 + d_2)k

• 사원수의 덧셈이 만족하는 성질은 다음과 같다.

1. 결합법칙
q_1 + (q_2 + q_3) = (q_1 + q_2) + q_3
= (a_1 + a_2 + a_3) + (b_1 + b_2 + b_3)i + (c_1 + c_2 + c_3)j + (d_1 + d_2 + d_3)k

2. 교환법칙
q_1 + q_2 = q_2 + q_1 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i + (c_1 + c_2)j + (d_1 + d_2)k

3. 항등원
(a + bi + cj + dk) + (0 + 0i + 0j + 0k) = (a + bi + cj + dk)

4. 역원
(a+ bi + cj + dk) + (-a - bi - cj - dk) = (0 + 0i + 0j + 0k)

• 사원수의 곱셈은 해밀턴 곱(Hamlton product)으로 불리며 모든 요소를 교차해 곱하는 방식으로 진행된다.
  • 사원수는 총 4가지 요소로 구성되므로 곱의 결과는 총 16가지 인자가 만들어진다.

q_1·q_2 = (a_1·a_2 - b_1·b_2 - c_1·c_2 - d_1·d_2) 
          + (a_1·b_2 + a_2·b_1 + c_1·d_2 - d_1·c_2)i
          + (a_1·c_2 + a_2·c_1 + b_2·d_1 - b_1·d_2)j
          + (a_1·d_2 + a_2·d_1 + b_1·c_2 - c_1·b_2)k

• 사원수 곱셈이 만족하는 성질은 다음과 같다.

1. 결합법칙
q_1·(q_2·q_3) = (q_1·q_2)·q_3 

2. 분배법칙
q_1·(q_2 + q_3) = q_1·q_2 + q_1·q_3

3. 항등원
(a + bi + cj + dk)·(1 + 0i + 0j + 0k) = (a + bi + cj + dk)

• 사원수 곱셈은 순서를 바꿔 계산하면 결과가 달라진다.

q_2·q_1 = (a_1·a_2 - b_1·b_2 - c_1·c_2 - d_1·d_2) 
          + (a_1·b_2 + a_2·b_1 - c_1·d_2 + d_1·c_2)i
          + (a_1·c_2 + a_2·c_1 - b_2·d_1 + b_1·d_2)j
          + (a_1·d_2 + a_2·d_1 - b_1·c_2 + c_1·b_2)k

• 사원수 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않아 체의 구조를 가지고 있지 않지만 결합법칙 등 나머지 체의 성질은 모두 만족한다.
  • 체의 구조에서 교환법칙이 성립하지 않는 구조를 유사체(Skew field)라고 한다.
  • 사원수는 유사체의 구조를 가진다.
  • 사원수끼리 곱셈식을 전개할 때는 왼쪽과 오른쪽의 순서가 바뀌지 않도록 주의해야 한다.
• 사원수의 크기는 복소수와 동일하게 각 계수를 제곱한 값을 더하고 제곱근을 취해 계산한다.
  • 절대값 기호 | |를 써서 표기
  • 사원수의 크기 역시 노름(Norm)이라 부른다.

|q| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)

• 사원수 중에서 크기가 1인 사원수를 단위 사원수(Unit quaternion)라고 한다.
• 사원수의 세 허수부의 계수에 음수를 적용한 사원수를 켤레 사원수라고 부르고 q^*로 표기하며 다음과 같이 표현

q^* = a - (bi + cj + dk)

• 사원수와 켤레 사원수의 곱은 복소수와 켤레 복소수 간의 곱의 성질과 동일하다.

(q^*)^* = q
(p·q)^* = q^*·p^*

• 임의의 사원수에 그 켤레를 곱하면 크기의 제곱 값이 나온다.

q^*·q = q·q^* = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = |q|^2

위 식을 통해 단위 사원수와 그 켤레의 곱은 언제나 1이 되는 것을 알 수 있다.

• 사원수도 복소수와 동일하게 켤레 사원수의 성질을 사용해 사원수 곱의 역원을 유도할 수 있다.

q^-1 = 1/q = q^* / (q·q^*) = q^* / |q|^2

위 식을 통해 크기가 1인 단위 사원수의 곱셈의 역원은 켤레 사원수가 됨을 알 수 있다.

사원수와 벡터

• 4개의 요소를 사용하는 사원수는 4개의 수 집합이 직교하는 4차원의 공간으로 시각화 할 수 있다.
  • 하지만 4차원 공간은 인지범위를 넘어서기 때문에 이를 시각적으로 정확하게 표현하는 것은 불가능하다.
  • 사원수를 다룰 때에는 4차원 공간을 1차원과 3차원으로 분리하고 3차원 공간의 성질을 관찰하는 것이 더욱 효과적
• 사원수를 다룰때에는 허수부를 사용하는 3개의 수 집합을 하나로 묶고, 나머지 실수부는 별도로 관리하는 방법을 사용
• 세 허수부의 계수를 3차원 벡터로 묶는다면, 사원수는 실수와 3차원 벡터 두 가지 요소로 구성된다고 볼 수 있다.

q = w + xi + yj + zk = (w, v)

• 위 순서쌍의 원소를 차례대로 실수부, 허수부라고 한다.
  • 이들을 각각 스칼라부, 벡터부라고도 부른다.
• 3차원 벡터를 사용해 사원수를 표현하면 사원수의 연산을 좀 더 체계적으로 정리할 수 있다.

1. 사원수의 덧셈
q_1 + q_2 = (w_1 + w_2, v_1 + v_2)

2. 사원수의 곱셈
   벡터의 내적과 외적을 사용해 표현할 수 있다.
q_1·q_2 = (w_1w_2 - (v_1·v_2), w_1v_2 + w_2v_1 + v_1 x v_2)
   위 식을 통해 사원수의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않음을 확인할 수 있다.
   벡터 연산이 교환법칙이 성립하지 않는 외적이 관련되어 있기 때문

• 사원수에서 실수부가 0인 사원수를 특별히 순허수 사원수(Pure Imaginary quaternion)라고 부른다.
  • 순허수 사원수는 세 허수로만 구성된 수를 말한다.
  • 이는 3차원 벡터 공간에 대응되는 개념
  • 3차원 공간이 사원수를 다루는 4차원 공간의 일부라면, 3차원 공간의 벡터는 다음 순허수 사원수에 대응된다.

xi + yj + zk = (0, v)

• 순허수 사원수의 곱셈을 전개하면 다음과 같다.

q_1·q_2 = (-v_1·v_2, v1 x v_2)

w_1과 w_2의 값이 0이므로 이들이 포함된 항의 값은 모두 0이 된다.
곱셈의 결과는 내적과 외적만 남게 된다.

사원수의 회전

• 자연지수함수, sin 함수, cos 함수를 매클로린 급수로 전개했을 때 세 급수가 서로 통합되기 위해서는 크기가 1이고, 제곱한 수가 -1이 되는 특별한 수가 필요함을 알 수 있었다.
• 복소수 체계에서 이 조건을 만족하는 특별한 수인 허수 i를 사용해 다음의 오일러 공식을 전개할 수 있었다.

e^(iΘ) = cosΘ + isinΘ = (cosΘ, sinΘ)

• 사원수에서도 허수 i와 동일하게 크기가 1이고 제곱한 값이 -1인 수가 있다면 오일러 공식을 만족할 것

사원수와 오일러 공식

• 순허수 사원수는 크기가 1이고, 제곱한 값이 -1이다.
  • 크기가 1인 순허수 사원수를 q_n으로 지정하고, 요소를 (0, n)으로 표시하면 다음 식이 성립한다.

sqrt(0 + |n|^2) = 1

• 위 식을 통해 n의 크기도 1이 됨을 알 수 있으며, 내적 n·n의 값도 1이 된다.

|n| = n·n = 1

• 순허수 사원수 q_n의 제곱을 전개하면 다음과 같다.

q_n^2 = q_n·q_n = (-n·n, n x n)

n·n은 1이고 평행한 벡터의 외적은 영벡터가 되므로 다음과 같이 간략화된다.
q_n·q_n = (-1, 0)

• 위 식을 통해 크기가 1인 순허수 사원수를 제곱한 결과는 -1이 됨을 확인할 수 있다.
• 따라서 오일러 공식의 전개 과정에서 허수 i대신 순허수 사원수의 벡터 n을 사용할 수 있다.
  • 자연상수의 지수함수로 사원수의 회전을 표현하는 것이 가능한 것을 알 수 있음

e^(RΘ) = cosΘ + sinΘ·n = (cosΘ, sinΘ·n)

• (cosΘ, sinΘ·n) 형태의 사원수는 4차원 공간에서 회전축 n을 중심으로 회전 변환하는 성질을 가진다.
  • 이를 회전 사원수(Rotation quaternion)라고 한다.
  • 회전 사원수를 q, 벡터 n의 요소를 (a, b, c)로 표기하고 이를 확인하면 다음과 같다.

q = cosΘ + sinΘ·n = cosΘ + sinΘ(ai + bj + ck)
|q| = cos^2Θ + sin^Θ(a^2 + b^2 + c^2) = 1

벡터 n의 크기가 1인 단위 벡터이므로 a^2 + b^2 + c^2 = 1의 조건에 의해 
위와 같이 전개되는 것을 알 수 있다.
따라서 회전 사원수는 언제나 단위 사원수임을 알 수 있다.

• 회전 사원수의 켤레는 다음과 같이 표현한다.

q^* = (cosΘ, -sinΘ·n)

이는 반대 방향의 회전을 의미한다.
q^* = (cos(-Θ), sin(-Θ)·n)

• 반대 방향의 회전을 의미하는 회전 사원수의 켤레 사원수는 오일러 공식으로도 확인할 수 있다.
  • 단위 사원수와 그 켤레를 곱한 값은 언제나 1이 나옴을 확인 하였다.
  • 이를 자연지수함수로 표현하면 0의 지수로 나타낼 수 있다.

q·q^* = 1 = e^0

• 오일러 공식에 의한 회전 사원수에 대응하는 지수함수는 다음과 같았다.

q = e^(nΘ)

• 이를 회전 사원수 q에 치환한 식은 다음과 같이 전개된다.

e^(nΘ)·q^* = e^0

• 위 식을 만족하는 q^* 의 값은 e^-(nΘ)이며 이는 같은 축 n을 중심으로 반대 방향으로 Θ만큼 돌리는 회전을 의미함 

q^* = e^-(nΘ) = e^(n(-Θ))

3차원 공간에서의 회전

• 일반적으로 사용하는 3차원 공간의 벡터 v는 순허수 사원수에 대응되는 개념이다.

벡터 v = (x, y, z), 회전축 n = (a, b, c)
회전축은 단위 벡터이므로 a^2 + b^2 + c^2 = 1의 조건을 가짐
회전축 n으로 각 Θ만큼 회전시키는 회전 사원수 q = (cosΘ, sinΘ·n)의 값을 자김

• 회전 사원수 q를 사용해 벡터를 회전시키는 방법은 회전 사원수를 벡터의 왼쪽에 배치하고 둘을 곱하는 것임
  • 회전 사원수와 순허수 사원수 벡터 v의 곱셈은 다음과 같다.

q·v = (cosΘ, sinΘ·n)·(0, v)
    = (-sinΘ(n·v), cosΘv + sinΘ(n x v))

• 위 식을 살펴보면 회전 사원수와 벡터를 곱한 결과는 순허수 사원수가 아닌 네 요소를 모두 사용하는 일반 사원수가 나온다.
  • 따라서 이 곱의 결과는 순허수 사원수와 1:1로 대응했던 3차원 공간의 규격에서 벗어나게 되므로 3차원 공간의 요소로 사용할 수 없게 된다.
• 3차원 공간에서 벡터를 회전시키는 용도로 사원수를 사용하기 위해서는 사원수 곱의 결과가 항상 순허수 사원수가 되는 특별한 수식을 찾아야 한다.
• 회전 사원수 벡터 n은 회전축의 역할을 수행한다.
  • 이는 로드리게스 회전 공식에서 언급된 축-각 회전에 대응하는 벡터다.
  • 3차원 공간에서 임의의 축 n에 대한 회전을 표현하면 아래 그림과 같다.

• 회전시킬 벡터를 v로 지정하고 이를 회전축 n에 평행한 성분과 수직인 성분으로 나누면 다음과 같은 식이 성립한다.

회전축에 수평인 성분을 v_||, 수직인 성분을 v_⊥으로 표시
v = v_|| + v_⊥

• 위 그림은 벡터 v를 수직 성분과 수평 성분으로 분리해 나타낸 그림이다.
  • 이를 각 Θ만큼 회전 시킨 벡터를 v^'라고 한다.

• 최종 회전의 벡터 v^'는 위 그림과 같이 회전축에 수직인 성분만 회전시킨 후, 수평 성분을 그대로 더하면 구할 수 있다.
  • 3차원 공간에서의 회전은 다음과 같은 식이 될 것이다.

v' = v_|| + q·v_⊥

• 오일러 공식을 활용해 위 수식을 정리하면 다음과 같다.

v' = v_|| + e^(nΘ)·v_⊥

우변의 두번째 항인 회전 사원수와 벡터와의 곱셈은 다음과 같이 전개된다.
e^(nΘ)·v_⊥ = (-sinΘ(n·v_⊥), cosΘv_⊥ + sinΘ(n x v_⊥))
           = (0, cosΘv_⊥ + sinΘ(n x v_⊥))

• 회전축에 수직인 벡터와 회전 사원수의 곱으로 얻어지는 사원수는 항상 실수부 값이 0인 순허수 사원수가 되므로, 이의 결과는 언제나 3차원 공간의 벡터에 대응됨을 확인할 수 있다.
• 3차원 공간의 회전식을 간략하게 정리하도록 연산 순서를 바꿔 전개

연산 순서를 변경하면 외적의 성질에 의해 sin 함수의 부호가 바뀐다.
v_⊥·e^(nΘ) = (0, cosΘv_⊥ - sinΘ(n x v_⊥))

회전각에 -Θ를 대입
v_⊥·e^(n(-Θ)) = (0, cos(-Θ)v_⊥ - sin(-Θ)(n x v_⊥))
              = (0, cosΘv_⊥ + sinΘ(n x v_⊥))

두 항의 순서를 바꿔 연산한 결과는 처음 식과 동일함
이는 회전축과 직교하는 벡터에 대해서 다음과 같은 식이 성립함을 알 수 있다.
e^(nΘ)·v_⊥ = v_⊥·e^(n(-Θ))

• 회전축에 평행한 벡터 v_|| 의 회전 사원수 곱이 가지는 성질

평행인 두 벡터의 외적은 영벡터가 되므로 실수부가 남고 허수부가 단순화된다.
e^(nΘ)·v_|| = (-sinΘ(n·v_||), cosΘv_||)

사원수 곱에서 교환법칙의 성립을 방해하던 외적 부분이 사라졌기 때문에
평행인 벡터와의 곱은 항상 교환법칙이 성립한다.
e^(nΘ)·v_|| = v_||·e^(nΘ)

식을 단순화 좀 더 단순화 하기 위해, 회전 사원수를 둘로 쪼개서 나타내보자
각 Θ의 회전을 수행하는 회전 사원수는 이를 절반 나눈 각 Θ/2의 회전 사원수를 두 번 곱한 결과와 동일함
e^(nΘ) = e^(n(Θ/2))·e^(n(Θ/2))

회전 사원수와 그 켤레 사원수와의 곱은 아무런 변화 없는 0° 회전을 만들어낸다.
따라서 이들의 곱은 곱셈의 항등원 1에 대응된다.
1 = e^0 = e^(n(Θ/2))·e^(n(-Θ/2))

이를 활용해 3차원 공간에서의 회전을 전개하면 다음과 같이 정리된다.
v' = v_|| + e^(nΘ)·v_⊥
   = e^0·v_|| + e^(nΘ)·v_⊥
   = e^(n(Θ/2))·e^(n(-Θ/2))·v_|| + e^(n(Θ/2))·e^(n(Θ/2))·v_⊥
   = e^(n(Θ/2))·v_||·e^(n(-Θ/2)) + e^(n(Θ/2))·v_⊥·e^(n(-Θ/2))
   = e^(n(Θ/2))·(v_|| + v_⊥)·e^(n(-Θ/2))
   = e^(n(Θ/2))·v·e^(n(-Θ/2))
   
간략화된 최종 식에서 자연지수함수를 다시 사원수 형태로 바꿔보면 다음과 같다.
Θ/2만큼 돌리는 회전 사원수를 q로 표현. 반대 방향으로 돌리는 사원수는 켤레 사원수 q^*
e^(n(Θ/2)) = q

• 3차원 공간의 회전을 보장하는 사원수 회전식은 다음과 같이 최종 정리된다.

v' = e^(n(Θ/2))·v·e^(n(-Θ/2))
   = q·v·q^*

• 회전 사원수에 사용한 각은 Θ/2이므로 여기에 사용한 사원수 q의 값은 다음과 같다.

q = (cosΘ/2, sinΘ/2·n)

• 절반의 각만 회전시키는 단위 사원수를 임의의 벡터와 곱했을 때 그 결과가 항상 실수부가 0인 순허수 사원수가 나오는지 확인

회전 사원수 q의 실수부와 허수부를 각각 w와 r로 표시
q = (cosΘ/2, sinΘ/2·n) = (w, r)

3차원 공간의 회전을 보장하는 사원수 회전식을 내적과 외적의 형태로 바꿔서 전개
v' = q·v·q^*
   = (w, r)·(0, v)·(w, -r)
   = (-(r·v), wv+(r x v))·(w, -r)
   = (-(r·v)w - (wv+(r x v))·(-r), -(r·v)·(-r)+w(wv + (r x v))+(wv + (r x v)) x (-r))
   
위 식에서 실수부와 허수부를 다음과 같이 각각 따로 전개
첫 항인 실수부를 전개하면 다음과 같다.
-(r·v)w - (wv+(r x v))·(-r) = -(r·v)w + w(v·r) + (r x v)·r
                            = -(r·v)w + w(v·r)
                            = -(r·v)w + (r·v)w
                            = 0

3차원 공간의 회전을 보장하는 식을 내적과 외적으로 전개했을 때 실수부 값은 언제나 0이 나온다.
이는 절반의 각과 그 켤레를 사용해 회전시킨 결과가 항상 3차원 공간의 벡터에 대응된다고 할 수 있다.

허수부의 수식을 전개하면 다음과 같다.
v' = -(r·v)·(-r)+w(wv + (r x v))+(wv + (r x v)) x (-r)
   = (r·v)·r + w^2v + w(r x v) - w(v x r) - (r x v) x r
   = (r·v)·r + w^2v + 2w(r x v) - (r x v) x r
   = (r·v)·r + (1 - r·r)·v + 2w(r x v) - (r x v) x r
   = v + (r·v) - (r·r)·v + 2w(r x v) - (r x v) x r
   = v + r x (r x v) + 2w(r x v) - (r x v) x r
   = v + 2w(r x v) + 2(r x (r x v))

• 위 허수부 수식의 최종 값에서 2(r x v)를 벡터 t로 치환하면 다음과 같이 단순하게 정리된다.

v' = v + wt + r x t

• 위 수식을 Θ/2가 아닌 각 Θ를 중심으로 전개하면 로드리게스 회전 공식이 유도된다.

v' = v + 2w(r x v) + 2(r x (r x v))
   = v + 2cos(Θ/2)(sin(Θ/2)(n x v)) + 2(sin(Θ/2)n x (sin(Θ/2)n x v))
   = v + 2cos(Θ/2)sin(Θ/2)(n x v) + 2sin^2(Θ/2)(n x (n x v))
   = v + sin(Θ/2 + Θ/2)(n x v) + (1 - cos(Θ/2 + Θ/2))(n x (n x v))
   = v + sinΘ(n x v) + (1 - cosΘ)((n·v)n - (n·n)v)
   = v - (1 - cosΘ)(n·n)v + sinΘ(n x v) + (1 - cosΘ)(n·v)n
   = cosΘv + (1 - cosΘ)(n·v)n + sinΘ(n x v)

• 회전 사원수의 벡터부에서 설정한 벡터 n은 축-각 회전에서 회전축의 기능을 수행하는 사실을 확인할 수 있다.
  • 또한 각 Θ를 기준으로 전개했을 때 보다 각 Θ/2를 기준으로 전개했을 때 식이 더 간편해진다는 것도 알 수 있다.
• 같은 회전축에 두 개의 다른 각을 연속해서 회전시키는 경우

첫 번째 각의 크기를 2α, 두 번째 각의 크기를 2β로 지정
회전할 벡터를 v, 첫 번째 회전을 적용한 벡터를 v', 두 번째 회전을 적용한 벡터를 v''로 표기
v' = q_α·v·q_α
v'' = q_β·v'·q_β

벡터 v'를 q_α·v·q_α로 치환하면 v''를 계산하는 식은 다음과 같이 전개
v'' = q_β·(q_α·v·q_α)·q_β
    = (q_β·q_α)·v·(q_α·q_β)
    = (q_β·q_α)·v·(q_β·q_α)^*
    = q_(α+β)·v·q_(α+β)^*

• 3차원 공간의 회전을 위해 절반의 각과 켤레 사원수를 사용하더라도 서로 다른 두 회전 사원수의 곱은 두 각을 합한 회전 사원수와 형태가 동일하다는 점을 알 수 있다.
• 회전 사원수와 회전 사원수의 곱은 두 각을 합한 사원수에 대응되며, 사원수와 3차원 벡터의 곱은 사원수로 표현된 회전축과 각으로 벡터를 회전시킨 결과에 대응한다.

사원수의 변환

• 사원수를 활용해 3차원 벡터를 회전시키는 방법을 알고 있지만, 사원수를 구성하는 요소 값은 직관적이지 않아 회전을 설계할 때 어려움이 따른다.
• 3차원 공간에서 물체를 회전을 설정할 때에는 오일러 각 방식이 사원수보다 직관적이고 편리하기 때문에, 오일러 각의 값을 사원수로 변환해주는 방법을 알고 있다면 게임 제작에 유용하게 사용할 수 있다.

오일러 각에서 사원수로의 변환

• 오일러 각의 각 회전은 x, y, z 기저 축이 회전축의 역할을 수행한다.
• 3차원 공간에서 x축을 중심으로 각 Θ만큼 회전시키는데 사용하는 회전 사원수 q는 다음과 같다.

q = (cos(Θ/2), sin(Θ/2)·x) = cos(Θ/2) + sin(Θ/2)i

• 오일러 각을 구성하는 Roll, Pitch, Yaw 회전에 대응하는 각 사원수는 다음과 같이 표현된다.

q_roll = cos(Θ_roll/2) + sin(Θ_roll/2)k
q_pitch = cos(Θ_pitch/2) + sin(Θ_pitch/2)i
q_yaw = cos(Θ_yaw/2) + sin(Θ_yaw/2)j

• 오일러 각의 회전 순서는 Roll, Pitch, Yaw 순서로 적용된다.
  • 대응하는 사원수를 동일한 순서에 맞춰서 곱하면 오일러 각에 대응하는 사원수가 만들어진다.

q_roll·q_pitch·q_yaw = cos(Θ_roll/2) cos(Θ_pitch/2) cos(Θ_yaw/2) 
                       + sin(Θ_roll/2) sin(Θ_pitch/2) sin(Θ_yaw/2) + 
                       (cos(Θ_roll/2) sin(Θ_pitch/2) cos(Θ_yaw/2) 
                       + sin(Θ_roll/2) cos(Θ_pitch/2) sin(Θ_yaw/2))i +
                       (cos(Θ_roll/2) cos(Θ_pitch/2) sin(Θ_yaw/2) 
                       - sin(Θ_roll/2) sin(Θ_pitch/2) cos(Θ_yaw/2))j +
                       (sin(Θ_roll/2) cos(Θ_pitch/2) cos(Θ_yaw/2) 
                       - cos(Θ_roll/2) sin(Θ_pitch/2) sin(Θ_yaw/2))k

사원수에서 오일러 각으로의 변환

• 사원수로부터 오일러 각의 값을 변환하는 방법은 조금 복잡하다.
  • 오일러 각에서 사원수로 변환하는 식에서 실수부를 w, 각 허수부 값을 x, y, z로 치환한다.
  • 이후 2(wz + xy)를 계산한 결과를 살펴보면 알 수 있다. 
• 요, 롤, 피치의 절반각을 y, r, p로 표기하고, 이들의 sin 값을 sy, sr, sp로 지정하고 cos 값을 cr, cp, cy로 지정해 식을 전개

w = cr·cp·cy + sr·sp·sy
z = cr·cp·cy - sr·sp·sy

wz = cy^2·cr·cp^2·sr - cy·cr^2·cp·sy·sp + cy·cp·sy·sr^2·sp - cr·sy^2·sr·sp^2
x = sy·sr·cp + sp·cy·cr
y = sy·cp·cr - sp·sr·cy

xy = cr·cp^2·sy^2·sr - cy·cp·sy·sr^2·sp + cy·cr^2·cp·sy·sp - cy^2·cr·sr·sp^2

• 사원수로부터 오일러 각을 구하려면 사원수를 잘 조합해 단일 각에 대한 삼각함수가 나오도록 식을 설정해야한다.
  • 롤 회전에 대한 삼각함수를 만들어주는 wz + xy의 값을 계산하면 다음과 같다.

wz + xy = cr·cp^2·sr - (cy·cp·sy·sp) + cy·cp·sy·sp - (cr·sr·sp^2)
        = cr·sr(cp^2 - sp^2)
        = (sin(2r)/2)·cos(2p)

• 2(wz + xy)의 값은 sinΘ_roll · cosΘ_pitch가 된다.
  • 같은 방식으로 1 - 2(z^2 + x^2)를 계산하면 cosΘ_roll · cosΘ_pitch가 된다.
  • sinΘ_roll · cosΘ_pitch값을 cosΘ_roll · cosΘ_pitch로 나누면 다음과 같이 롤 회전의 tan 값이 나온다.

sinΘ_roll·cosΘ_pitch / cosΘ_roll·cosΘ_pitch = tanΘ_roll
                                            = 2(wz + xy) / (1 - 2(z^2 + x^2))

• 롤 회전 값은 arctan 함수를 사용해 구할 수 있다.

Θ_roll = atan2(2(wz + xy), 1 - 2(z^2 + x^2))

• 피지 회전에 대한 삼각함수를 만들어주는 wx - yz값은 다음과 같이 전개된다.

wz - xy = (sin(Θ_pitch)/2)·(cos(Θ_pitch)/2)
        = 1/2(sinΘ_pitch)

따라서 피치 회전각은 arcsin 함수를 사용해 구할 수 있다.
Θ_pitch = asin(2(wx - yz))

• asin 함수의 정의역은 [-1, 1] 범위로 제한되어 있으므로 wz - yz 값이 [-0.5, 0.5] 범위를 벗어나지 않는지 확인하고 벗어나는 경우 범위내 가장 가까운 값으로 설정해야 한다.
• 요 회전은 롤 회전과 유사한 방법으로 요 회전의 tan 함수 값을 구한 후 arctan 함수를 사용한다.

Θ_yaw = atan2(2(wy + xz), 1 - 2(x^2 + y^2))

사원수에서 회전 변환행렬로의 변환

• 회전 변환행렬은 로컬 축으로 구성되어 있기 떄문에 사원수를 사용해 회전된 세 로컬 축의 값을 구하면 쉽게 해결할 수 있다.
• 사원수를 구성하는 네 요소를 x, y, z, w라고 할 때 벡터 r의 값은 (x, y, z)가 되고 여기에 회전시킬 벡터 값을 v에 대입하면 외적 식으로 회전된 벡터 값을 계산할 수 있다.
  • 먼저 회전할 벡터는 x축 기저 벡터 (1, 0, 0)이다.
  • 이를 계산한 결과는 사원수에 의해 회전된 x로컬 축을 의미한다.

x_local = (1, 0, 0) + w(0, 2z, -2y) + (x, y, z) x (0, 2z, -2y)
        = (1, 2zw, -2yw) + (-2y^2 - 2z^2, 2xy, 2xz)
        = (1 - 2(y^2 + z^2), 2(xy + zw), 2(wz - yw)

• 마찬가지로 동일한 사원수에 벡터 (0, 1, 0), (0, 0, 1)을 곱하면 각각 다음 식이 나온다.

y_local = (2(xy - zw), 1 - 2(x^2 + z^2), 2(yz + xw))
z_local = (2(xz + yw), w(yz - xw), 1 - 2(x^2 + y^2))

• 모든 로컬 축을 구했다면, 이들을 행렬에 넣으면 회전 변환 행렬을 만들 수 있다.

┌ 1 - 2(y^2 + z^2)     2(xy - zw)        2(xz + yw)     ┐
|   2(xy + zw)      1 - 2(x^2 + z^2)     w(yz - xw)     |
└   2(wz - yw)        2(yz + xw)       1 - 2(x^2 + y^2) ┘

회전 변환행렬에서 사원수로 변환

• 행렬의 요소를 조합해서 사원수를 구성하는 x, y, z, w 값을 개별로 구하는 방법을 찾아야 한다.
• 이는 정방행렬의 모든 대각 성분의 합을 더하는 것에서 실마리를 찾을 수 있다.
  • 정방행렬의 대각 성분을 모두 더한 값을 트레이스(Trace)라고 한다.
• 사원수에서 회전 변환행렬로 변환한 행렬의 대각행렬 값을 모두 더한 트레이스 t는 다음과 같이 계산된다.

t = 1 - 2(y^2 + z^2) + 1 - 2(x^2 + z^2) + 1 - 2(x^2 + y^2)
  = 3 - 4(x^2 + y^2 + z^2)

• 위 식에 1을 더하면 제곱근을 씌울 수 있는 형태가 나온다.
  • 크기가 1인 회전 사원수의 성질에 의해 x^2 + y^2 + z^2의 값은 1 - w^2이 된다.
  • 따라서 트레이스 값은 4w^2이 된다.

t + 1 = 4 - 4(x^2 + y^2 + z^2) = 4w^2

• 위 식에 제곱근을 씌운 값에서 양수 값을 r로 지정하면 r과 트레이스 t와의 관계는 다음과 같다.

r = 2w = sqrt(t + 1)

• 사원수 w값은 다음과 같이 구할 수 있다.

w = 1/2(r)

• 위에서 구한 w값을 이용해 나머지 값 x, y, z를 구할 수 있다.
  • 회전 변환행렬을 살펴보면 대각 방향으로 대칭된 행렬 요소를 서로 빼면 두 사원수 요소의 곱으로 정리된다.

두 번째 열 벡터의 세 번째 요소에서 세 번째 열벡터의 두 번째 요소를 빼면
2yz + 2xw - 2yz + 2xw = 4wx

세 번째 열벡터의 첫 번째 요소에서 첫 번째 열벡터의 세 번째 요소를 빼면
2xz + 2yw - 2xz + 2yw = 4yx

첫 번째 열벡터의 두 번째 요소에서 두 번째 열벡터의 첫 번째 요소를 빼면
2xy + 2zw - 2xy + 2zw = 4zw

• 이 방식으로 사원수를 구할때는 예외 사항이 있다.
  • 트레이스 값이 -1보다 작거나 같으면 제곱근을 구하는 값이 0보다 작거나 같아져 w를 구하는데 필요한 r의 해가 존재하지 않는다.

y축으로 180도 회전하는 행렬은 x 기저와 z 기저를 반대 방향으로 돌리므로 다음과 같이 구성된다.
┌ -1  0  0 ┐
|  0  1  0 |
└  0  0 -1 ┘

이 행렬을 사용하는 경우 트레이스 값은 -1이 되고 w 값은 0이 된다.
0의 역수는 존재하지 않기 떄문에 나머지 값들을 구할 수 없다.

이러한 경우, w가 아닌 다른 요소로부터 계산한 후, 이로부터 다른 성분을 구하도록 방법을 우회해야 한다.
주어진 회전 변환행렬에서 첫 번째 대각 성분과 두 번쨰와 세 번째 대각 성분을 빼면 다음과 같다.
1 - 2y^2 - 2z^2 - 1 + 2x^2 + 2z^2 - 1 + 2x^2 + 2y^2 = -1 + 4x^2

위 방법을 통해 x 값을 구할 수 있다.
y값은 두 번째 대각 성분에 첫 번째와 세 번째를 빼서 얻을 수 있다.
z값은 세 번째 대각 성분에 첫 번째와 두 번쨰를 빼서 얻을 수 있다.

• 예외 상황을 감안해 회전 변환 행렬로부터 사원수를 구하는 알고리즘이 1985년 켄 슈메이크에 의해 고안됐다.
  • 먼저 회전 변환행렬의 트레이스 값을 구하고 그 값이 충분히 큰지 파악한다.
  • 이론적으로 트레이스 값이 -1보다 크면 w 값 계산이 가능하지만, -1에 가까워질수록 오차가 발생히므로 트레이스 값이 0보다 큰 경우에만 대칭된 요소를 서로 뺀 로직을 적용한다.
  • 나머지 트레이스 값이 0보다 작거나 같은 경우에는 예외 상황으로 간주해 다른 값부터 구하는 것이 알고리즘의 핵심
  • w를 제외하고 x, y, z 중에서 가장 큰 요소를 파악한다.
  • 각 대각행렬의 요소 값을 비교하면 확인할 수 있다.
  • 예를 들어 대각행렬의 첫 번째 대각 요소와 두 번째 대각 요소의 크기를 비교했을 때 두 번째 요소 값이 크다면 y의 크기가 x보다 크다는 의미

1 - 2(y^2 + z^2) < 1 - 2(x^2 + z^2)
            -y^2 < -x^2

• 이 과정을 한번 더 거치면 x, y, z에서 가장 큰 요소를 찾을 수 있다.
  • 이렇게 파악된 가장 큰 요소의 값을 먼저 구한다.
  • 이와 같은 방법으로 가장 큰 수를 구했다면 나머지 두 요소는 xy, yz, xz 값으로부터 얻을 수 있다

사원수의 보간

• 사원수는 로드리게스 회전과 동일한 축-각 방식을 사용해 3차원 공간의 회전을 표현한다.
• 사원수를 사용하는 경우의 장점은 다음과 같다.
  • 오일러 각과 쉽게 변환이 가능하며 회전행렬 제작이 용의하다.
  • 임의의 축에 대한 회전 표현이 가능하기 때문에 짐벌락 현상을 방지할 수 있다.
  • 임의의 축에 대한 회전 보간 값을 구할 수 있다.
  • 4개의 숫자로 회전을 표현하기 때문에 저장 공간을 효율적으로 쓸 수 있다.
• 또한 사원수는 행렬과 상호 변환이 가능하다.
• 다른 회전 방식에 비해 사원수가 가지는 장점은 회전 보간이 가능하다는 것이다.

• 사원수를 4차원 공간의 벡터로 생각하고, 두 사원수가 만들어내는 4차원 공간에서의 평면을 상상하면
  • 해당 평면에서 주어진 비율 t에 대응하는 사원수는 두 사원수의 위치를 선형 보간한 지점이 된다.
  • 두 사원수가 만든 평면에서 1/3만큼 보간된 사원수를 구하는 방법은 위 그림과 같이 계산할 수 있다.

주어진 비율 t에 대응하는 중간 사원수를 구하는 수식
q(t) = (1 - t)·q_1 + t·q_2

• 선형 보간으로 얻어지는 사원수는 크기가 1인 단위 사원수가 아니기 때문에 해당 사원수를 회전에 사용하려면 정규화 과정을 거쳐야 한다.

q' = q(t) / |q(t)|

• 선형 보간법은 빠르고 간편하게 사용할 수 있지만, 원의 궤적을 따라 발생하는 회전을 정확히 반영하지 못한다.
  • 좀 더 높은 수준의 결과물을 위해 회전의 움직임을 따르는 중간 사원수를 구하려면 두 사원수가 이루는 각을 Θ로 지정하고 주어진 비율 t를 사용해 두 각을 각각 tΘ와 (1 - t)Θ로 나눠야 한다.

• 위 그림을 만족시키는 선형 보간식의 두 계수 α와 β값을 찾아야 한다.

q' = α·q_1 + β·q_2

• 위 그림과 같이 첫 번째 사원수를 x축에 일치시키고 이를 회전한 값을 구해야한다.

첫 번째 사원수에 해당하는 벡터를 x, 두 번째 사원수에 해당하는 벡터를 u라고 할때
x에 직교하는 벡터를 y로, 구해야할 중간 사원수의 벡터를 v로 정하면

선형 보간식의 두 계수를 찾는 식은 다음과 같이 바꿔쓸 수 있다.
v = α·x + β·u

• 두 사원수가 만드는 각을 Θ라고 했을 때 구하려는 벡터 v는 서로 직교하는 두 기저벡터 x와 y의 조합으로 계산된다.

v = cos(tΘ)x + sin(tΘ)y

• 하지만 벡터 x에 직교하는 벡터 y의 값을 모르므로 벡터 u와 삼각함수를 활용해 이를 구해야한다.
  • 아래 그림을 보면 u - cosΘx값과 sinΘy값은 동일한 벡터를 가리킨다.

• 이를 활용하면 벡터 y의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

y = (u - cosΘx) / sinΘ

• 이 값을 두 기저벡터의 조합을 통해 벡터 v를 구하는 식에 대입하면 다음과 같다.

v = cos(tΘ) + sin(tΘ)((u - cosΘx) / sinΘ)
  = ((sinΘcos(tΘ) - cosΘsin(tΘ)) / sinΘ)x + (sin(tΘ)/sinΘ)u
  = (sin(Θ - tΘ) / sinΘ)x + (sin(tΘ) / sinΘ)u

• 위 식을 선형 보간식의 계수를 찾는 식을 벡터로 바꿔 쓴 식에 대입하면 두 계수를 구할 수 있다.

α = sin((1 - t)Θ) / sinΘ
β = sin(tΘ) / sinΘ

• 계수를 중간 사원수를 구하는 식에 대입하면 구면으로 보간하는 최종 식이 만들어진다.

q' = (sin((1 - t)Θ) / sinΘ)·q_1 + (sin(tΘ) / sinΘ)·q_2

• 이 방법으로 보간하는 방법을 구면 선형 보간(Spherical linear interplation)이라고 하며, 줄여서 슬럽(Slerp)이라 부른다.
• 구면 선형 보간을 구현하는데 필요한 두 계수의 식 외에 고려할 점이 몇가지 있다.
  • 먼저 두 사원수로부터 나오는 회전 경로는 항상 긴 경로와 짧은 경로의 두 가지가 있는데, 이 중에 하나를 선택해야 한다는 점이 있다.
  • 일반적으로 짧은 경로를 사용한다.
  • 입력으로 들어온 두 사원수의 방향이 평행하면 분모 sinΘ의 값이 0이 되어 구면 선형 보간 계산이 불가능해진다.
  • 따라서 긴 경로인지 파악하기 위해 이미 계산했던 내적을 활용해야 한다.
  • 내적 값의 크기가 1이면 두 사원수는 평행한 상태이기 때문이다.
  • 오차까지 감안해 두 사원수의 내적이 1과 매우 근접한 경우에는 일반 선형 보간을 사용해야 한다.
• 구면 선형 보간은 카메라의 움직임이나 캐릭터 에니메이션과 같이 시간에 따른 부드러운 회전을 구현하는데 유용하게 사용된다.

사원수의 활용

• 3차원 공간에서 움직이지 않는 물체의 회전을 설정하고, 회전에 관련된 정보를 보여줄 때는 오일러 각 방식을 사용하는 것이 편리하다.
• 단, 시간에 따라 변하는 회전을 처리할 때는 짐벌락 현상이 없는 사원수를 사용하는 것이 안전하고 간편하다.
• 따라서 3차원 트랜스폼을 안정적으로 구동시키기 위해서는 오일러 각 방식의 회전 시스템을 걷어내고 사원수 시스템을 사용해야한다.
  • 하지만 오일러 각 방식은 회전을 지정하거나 게임 로직에서 사용하기 편리하기 때문에 사원수와 오일러 각이 자유롭게 변환되어야한다.
  • 또한 렌더링 로직에는 회전 변환행렬이 필요하기 때문에 사원수로부터 행렬을 만드는 것도 사용해야 한다.

 

 

 

 

 

출처

https://m.yes24.com/Goods/Detail/107025224

이득우의 게임 수학 - 예스24