[게임수학] 3차원 공간

3차원 공간

• 3차원 공간을 설계하는 방법은 왼손 좌표계와 오른손 좌표계 크게 두가지로 구분된다.
  • 왼손 좌표계는 내가 바라보는 정면이 +z축 이고 위가 +y, 오른쪽이 +x인 방향이다.
  • 오른손 좌표계는 나한테 오는 방향(나의 뒤방향)이 +z 축이고, 위가 +y, 오른쪽이 +x인 방향이다.
• 왼손과 오른손은 z축의 방향차이로 확인할 수 있다.

왼손 좌표계

• 왼손 좌표계의 대표적인 예는 Unity 게임 엔진이다.
• 왼손 좌표계를 사용하면 UX 측면에서 큰 이점이 생긴다.
• 3D상에서 2D를 표현할 때 Z축 값을 사용해 레이어 구분이 필요할 때가 있다.
  • 이때 왼손 좌표계를 사용하면 화면에서 멀어질수록 Z축 값이 올라간다.
  • Z축의 값과 오브젝트의 레이어 순서는 서로 비슷하기 때문에 구분이 가능하다.
• Y-UP를 사용하는 이유
  • 다이렉트 X와 OpenGL은 Y-UP을 사용한다.
  • Unreal Engine이나 Unity가 널리 사용되기 전에는 다이렉트 X와 OpenGL을 많이 사용함
  • 익숙한 좌표계 사용을 위해 상용 엔진도 이 방식을 사용

오른손 좌표계

• 오른손 좌표계를 사용하는 대표적인 예는 블랜더이다.
• 대부분 수학에서 2D의 데카르트 좌표계에서 3D 좌표계로 넘어갈 때 오른손 좌표계를 사용함
• Z-UP을 사용하는 이유
  • 공학적인 접근방식에서 Z-UP이 거의 표준처럼 사용

3차원 공간의 트랜스폼

• 3차원 트랜스폼 체계는 2차원 공간의 트랜스폼에서 기저벡트가 하나더 증가했을 뿐이다.
• 이동 변환을 위해 한 차원 더 늘어난 4차원 공간을 사용한다.

이동변환 행렬과 크기변환 행렬

• 이동변환은 Identity Matrix를 기반으로 w축만 변경된다.
  • 한 축이 변경되면 다른 축은 변경되지 않는다.
• 크기변환은 Identity Matrix 범위 내에서 변경된다.
• 이동변환과 크기변환은 차원마다 행렬식이 추가되기만하면 된다.

    ┌ S_x   0    0    0 ┐
S = │  0   S_y   0    0 │
    │  0    0   S_z   0 │
    └  0    0    0    1 ┘

    ┌ 1  0  0  t_x ┐
T = │ 0  1  0  t_y │
    │ 0  0  1  t_z │
    └ 0  0  0   1  ┘

표준기저벡터의 변화를 사용한 회전변환 행렬

• 회전은 하나의 축을 변경하면 대부분의 축이 변경된다.
• 차원이 높아질 수록 해당 축의 회전은 더욱 넓은 범위의 축들을 변경하게 된다.
  • 2D 공간의 회전(Z축 회전)은 x, y축만 영향을 끼침
  • 3D 공간의 회전(X, Y축 회전) z축에도 영향을 끼침

표준기저벡터 X', Y', Z'(위 그림에서의 x'1, x'2, x'3) 값은

X'(x'1) = (X'x, X'y, X'z)
Y'(x'2) = (Y'x, Y'y, Y'z)
Z'(x'3) = (Z'x, Z'y, Z'z)


아래와 같은 식으로 적용할 수 있다.

    ┌ X'x  Y'x  Z'x  0 ┐
R = │ X'y  Y'y  Z'y  0 │
    │ X'z  Y'z  Z'z  0 │
    └  0    0    0   1 ┘

• 이 방법으로 3차원 공간의 회전을 지정한다는 것은 매번 3개의 변화된 표준기저벡터 값을 계산해야한다.
  • 회전을 지정할 때는 일반적으로 회전하는 중심축과 각으로 표현된 회전량을 지정하는 방식을 사용한다,
• 2차원 공간은 하나의 평면만 존재하기 때문에 각으로 회전량을 지정하면 원하는 회전을 설계할 수 있다.
  • 하지만 3차원 공간은 무수히 많은 평면으로 구성되기 때문에 새로운 방식이 필요하다.

오일러 각

• 오일러 각(Euler's angle)은 3차원 공간에서 물체가 놓인 방향을 3개의 각을 사용해 표시하는 방법이다.
• 한눈에 알아보기 쉽고 앞서 배웠던 회전 행렬로 적용이 용이한 엄청난 개념이 있는 덕분에 회전을 쉽게 적용할 수 있다.

• 표준기저벡터를 축으로 하는 회전의 움직임은 방향에 따라 요(Yaw), 롤(Roll), 피치(Pitch)로 불린다.
• 3축의 회전 행렬은 다음과 같이 설계할 수 있다.

      ┌ 1   0      0   ┐
R_x = │ 0  cosθ  -sinθ │   
      └ 0  sinθ   cosθ ┘

      ┌  cosθ  0  sinθ ┐
R_y = │   0    1   0   │   
      └ -sinθ  0  cosθ ┘

      ┌ cosθ  -sinθ  0 ┐
R_z = │ sinθ   cosθ  0 │   
      └  0      0    1 ┘

• 주의 깊에 살펴볼 부분은 y축의 회전행렬 R_y다.
  • 다른 행렬은 모두 우측상단의 sin 함수가 음의 부호인 반면 R_y는 좌측 하단의 sin 함수가 음의 부호를 가진다.
  • 3차원 공간에서는 x -> y -> z -> x -> y의 순서로 세 축이 순환하기 때문에 y축이 직교하는 평면은 xz 평면이 아니라 zx 평면이다.

회전 행렬 유도

• 세 번의 연속적인 회전으로 총 6가지 경우가 발생한다.
  1. x -> y -> z
  2. x -> z -> y
  3. y -> x -> z
  4. y -> z -> x
  5. z -> x -> y
  6. z -> y -> x
• 이중 5번째 순서에 대해 알아본다면

R = R_yaw · R_pitch · R_roll

                  ┌ cosα cosy + sinα sinβ sinγ    -cosα sinγ + sinα sinβ cosγ    sinα cosβ   ┐
R_α · R_β · R_γ = │       cosβ sinγ                      cosβ cosγ                 -sinβ     │
                  └ -sinα cosγ + cosα sinβ sinγ    sinα sinγ + cosα sinβ cosγ    cosα cosβ   ┘

• 계산된 회전행렬의 열벡터는 표준기저벡터가 회전 변환된 로컬 축을 의미한다.
  • 따라서 오일러 각으로 변화된 각 로컬 축 값은 다음과 같이 계산해 얻을 수 있다.

x_local = (cosα·cosy + sinα·sinβ·sinγ, cosβ·sinγ, -sinα·cosγ + cosα·sinβ·sinγ)
y_local = (-cosα·siny + sinα·sinβ·cosγ, cosβ·cosγ, sinα·sinγ + cosα·sinβ·sinγ)
z_local = (sinα·cosβ, -sinβ, cosα·cosβ)

• 3차원 공간의 트랜스폼도 회전 변환이 발생할 때마다 로컬 축 데이터를 갱신하면 게임 로직에서 유용하게 사용할 수 있을 뿐만 아니라, 렌더링 로직에 필요한 회전행렬도 바로 만들어 낼 수 있다.
  • 계산식으로 얻어낸 로컬 축 벡터를 각각 X = (X_x, X_y, X_z), Y = (Y_x, Y_y, Y_z), Z = (Z_x, Z_y, Z_z)로 지정하고, 이들을 열벡터로 꽃아넣어 얻어지는 3차원 공간의 회전행렬 R은 다음과 같다.

    ┌ X_x  Y_x  Z_x   0 ┐
R = │ X_y  Y_y  Z_y   0 │
    │ X_z  Y_z  Z_z   0 │
    └  0    0    0    1 ┘

3차원 모델링 행렬

• 3차원 공간의 트랜스폼을 구성하는 크기(S), 회전(R), 이동(T) 변환 행렬은 다음과 같다.

    ┌ S_x   0    0    0 ┐
S = │  0   S_y   0    0 │
    │  0    0   S_z   0 │
    └  0    0    0    1 ┘
    ┌ X_x  Y_x  Z_x   0 ┐
R = │ X_y  Y_y  Z_y   0 │
    │ X_z  Y_z  Z_z   0 │
    └  0    0    0    1 ┘

    ┌ 1  0  0  t_x ┐
T = │ 0  1  0  t_y │
    │ 0  0  1  t_z │
    └ 0  0  0   1  ┘

3개의 행렬을 TRS연산 순서에 따라 곱해 만든 모델링 행렬 M은 다음과 같다.
                ┌ X_x S_x   Y_x S_y   Z_x S_z   t_x ┐
M = T · R · S = │ X_y S_x   Y_y S_y   Z_y S_z   t_y │
                │ X_z S_x   Y_z S_y   Z_z S_z   t_z │
                └    0         0         0       1  ┘

카메라 공간

• 월드에서의 좌표가 어떻든 카메라 관점에서 봤을 때 카메라는 세상의 좌표와 다르게 반대로 바라보는 모습이 될것

• 서로 반대되는 좌표계로 인해 x와 y값이 예상과 다르게 반대로 뒤집힐 것

• 원래 좌표계를 사용하고자 한다면 카메라를 180° 회전시켜서 +z축이 카메라 뒤편을 향하게 하면 우리가 원하는 좌표계로 물체가 나타날 것이다.
• 카메라는 크기의 개념이 없기 때문에, 카메라의 트랜스폼은 크기 변환을 제외한 회전과 이동변환으로만 구성된다.

    ┌ 1  0  0  t_x ┐
T = │ 0  1  0  t_y │
    │ 0  0  1  t_z │
    └ 0  0  0   1  ┘
    
    ┌ X_x  Y_x  Z_x   0 ┐
R = │ X_y  Y_y  Z_y   0 │
    │ X_z  Y_z  Z_z   0 │
    └  0    0    0    1 ┘

뷰 변환 행렬

• 뷰 행렬을 구하기 위해서는 역행렬을 계산해야한다. 
  • 이동 T의 역행렬 T^-1은 덧셈의 역원인 반대수를 사용해 구할 수 있다.
  • 이동의 역행렬을 적용하면 모든 좌표는 카메라를 중심으로 재배치된다.
  • 회전 변환은 전치 행렬로 역행렬인 R^-1을 구할 수 있다.
  • 전치하는 이유는 물체가 가만히 있는데 카메라가 30도 회전하는 경우 사용자는 물체가 -30도 회전하는 것으로 느낄 것이기 때문

       ┌ 1  0  0  -t_x ┐
T^-1 = │ 0  1  0  -t_y │
       │ 0  0  1  -t_z │
       └ 0  0  0    1  ┘
    
       ┌ X_x  X_y  X_z   0 ┐
R^-1 = │ Y_x  Y_y  Y_z   0 │
       │ Z_x  Z_y  Z_z   0 │
       └  0    0    0    1 ┘

• 최종 뷰 행렬을 구하는 방법
  • 뷰 행렬을 구하려면 이동의 역행렬을 먼저 적용할지, 회전의 역행렬을 먼저 적용할지 선택해야 함
  • 적용 순서는 이동의 역행렬을 먼저 적용해야한다.
  • 이유는 카메라에 회전을 적용할 시점에 모든 좌표는 카메라를 중심으로 변환되어 있어야하기 때문
  • 이는 트랜스폼의 순서를 거꾸로 돌리는 것과 동일한 원리

크기 변환 S를 제외한 카메라의 트랜스폼으로부터 얻어지는 모델링 행렬 M
M = T · R

모델링 행렬의 역행렬 M^-1은 뷰 행렬이 된다.
M^-1 = (T · R)^-1 = R^-1 · T^-1

//최종 뷰 행렬 V
                  ┌ -X_x   -X_y    -X_z    x·t  ┐
V = R^-1 · T^-1 = │  Y_x    Y_y     Y_z   -y·t  │
                  │ -Z_x   -Z_y    -Z_z    z·t  │
                  └   0      0       0      1   ┘

• 최종 뷰 좌표계는 y축으로 180도 회전한 구조를 가져야한다.
  • 따라서 R^-1 · T^-1의 결과 행렬의 x축 기저와 z축 기저를 반전시켜야한다.

오일러 각의 특징

• 오일러 각은 3차원 공간의 회전을 지정할 때 직관적인 인터페이스를 제공한다. 
• 표준기저벡터를 회전축으로 사용하기 때문에 회전을 설계하기가 용이하다.
• 적은 용량으로 3차원 공간의 회전 정보를 기록할 수 있다.

짐벌락 현상

• 오일러 각을 사용하면 특정 상황에서 회전의 움직임이 제한되는 짐벌락(Gimbal lock) 현상을 감안해야한다.
  • z축을 90도 회전
  • x축을 -90도 회전
  • y축을 회전하면 처음의 z축 회전과 동일함을 알 수 있다.

회전 보간의 계산

• 경과된 시간에 따라 회전이 변화되도록 중간 회전값을 계산하는 것을 회전 보간(Rotaional interpolation)이라고 한다.
• 중간 회전 값은 선형 보간의 식을 사용해 얻을 수 있다.

θ` = (1-t)θ_start + tθ_end

• 예를 들어 동일한 평면 상에서 15°에서 시작해 165°로 끝나는 회전의 1/3비율에 해당하는 회전 보간은 65° 이다.

2/3·15° + 1/3·165° = 65°

• 선형 보간식이 성립하려면 두 각의 회전 변환을 곱한 결과가 두 각의 합의 회전 변환과 동일해야한다.
  • 2차원 공간의 회전에서는 두 결과가 동일하기 때문에 2차원 공간의 회전에서 선형 보간식을 사용하는데 아무런 문제가 없다.
  • 3차원 공간의 오일러 각 회전에서 선형 보간식을 사용할 수 있는지 확인하면 다음과 같다.

세 기저벡터 중 y축에 대해서만 회전하는 오일러 각 회전
y축으로 α와β만큼 회전하는 오일러 각의 데이터는 다음과 같다.
(0, α, 0) (0, β, 0)

두 오일러 각에 대응하는 회전변환 R_α와 R_β는 다음과 같다.
R_α = R_yawα·I·I = R_yawα
R_β = R_yawβ·I·I = R_yawβ

두 오일러 각을 합한 회전 변환 R_(α+β)는 다음과 같다.
R_(α+β) = R_yaw(α+β)·I·I = R_yaw(α+β)

두 오일러 각에 대응하는 회전변환 R_α와 R_β 곱한 결과
R_α·R_β = (R_yawβ·R_pitchβ·R_rallβ)·(R_yawα·R_pitchα·R_rallα)
        = (R_yawβ·I·I)·(R_yawα·I·I)
        = R_yawβ·R_yawα
        = R_(β+α)
        = R_yaw(α+β)

• y축만 사용하는 두 오일러 각을 곱한 결과는 두 오일러 각을 합한 회전 변환 R_(α+β)와 동일하다.
  • 오일러 각에서 한 축만 사용하는 것은 2차원 평면에서의 회전과 동일함
• 한축에 대해서 회전하는 것은 문제가 없지만 두 축에 대해서 회전하는 오일러 각은 선형 보간식을 사용할 수 없다.

x축과 y축 두 축에 대해서 회전하는 오일러 각 회전
두 축에대해 α와β만큼 회전하는 오일러 각의 데이터는 다음과 같다.
(α, α, 0) (β, β, 0)

두 오일러 각에 대응하는 회전변환 R_α와 R_β는 다음과 같다.
R_α = R_yawα·R_pitchα·I = R_yawα·R_pitchα
R_β = R_yawβ·R_pitchβ·I = R_yawβ·R_pitchβ

두 오일러 각을 합한 회전 변환 R_(α+β)는 다음과 같다.
R_(α+β) = R_yaw(α+β)·R_pitch(α+β)·I = R_yaw(α+β)·R_pitch(α+β)

두 오일러 각에 대응하는 회전변환 R_α와 R_β 곱한 결과
R_α·R_β = (R_yawβ·R_pitchαβ·R_rallβ)·(R_yawα·R_pitchβα·R_rallα)
        = (R_yawβ·R_pitchβ·I)·(R_yawα·R_pitchα·I)
        = R_yawβ·R_pitchβ·R_yawα·R_pitchα
        != R_yaw(α+β)

• 일반적으로 게임에서 케릭터 회전은 y축에 대응되는 yaw 회전만을 사용하기 때문에 케릭터 회전 보간은 오일러 각으로 충분히 구현 가능하다.
• 하지만 비행기 조종과 같은 3차원 공간에서 2개 이상의 기저축이 결합된 방식으로 회전을 진행하는 경우 오일러 각 방식을 사용해 회전 보간을 구현하는 것은 어려워진다.
• 3차원 공간에서 자유로운 회전 보간을 구현하고 싶은 경우 로드리게스 회전 공식을 사용하거나 사원수를 사용해야한다.

 

 

 

 

 

 

출처

https://m.yes24.com/Goods/Detail/107025224

이득우의 게임 수학 - 예스24

https://wecandev.tistory.com/214

[이득우 게임수학] 10. 3차원 공간 : 입체 공간의 생성

https://velog.io/@ounols/%EA%B2%8C%EC%9E%84-%EC%88%98%ED%95%99-1.-3%EC%B0%A8%EC%9B%90-%EA%B3%B5%EA%B0%84-%EB%A7%9B%EB%B3%B4%EA%B8%B0

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